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Civiltà araba e matematica
La civiltà araba è molto importante nella storia della matematica (Nasr, 1977): l’originalità dei contributi arabi è dibattuta (Kline, 1991), ma possiamo affermare con certezza che la gran parte dell’esperienza matematica del mondo antico ebbe garantita la sopravvivenza grazie all’azione degli Arabi: studiosi greci, cristiani, persiani ed ebrei scrissero in arabo; gli Arabi si dedicarono anche a migliorare le traduzioni esistenti e furono autori di molti importanti commentari. Spesso queste traduzioni passarono in Europa quando gli originali greci erano andati perduti (Bagni, 1996).
Gli Arabi sono noti per l’introduzione della notazione numerica posizionale, con uso dello zero, di accertata derivazione indiana. Secondo Struik (1981 e 1994), il nostro attuale sistema di notazione numerica comparve per la prima volta in India in un’incisione del 595; attraverso gli Arabi fu possibile la diffusione della notazione posizionale in Europa, al posto del sistema additivo romano, insufficiente rispetto alle esigenze di praticità della matematica medievale.
Mohammed Ibn Musa Al Khuwarizmi (VIII secolo), di origine persiana, è considerato uno dei padri dell’algebra e scrisse Al jabr wal mukabalah, opera alla quale risale la denominazione “algebra” e in cui è sviluppata una teoria delle equazioni (di secondo grado; non si consideravano radici negative e quelle immaginarie erano dette ‘impossibili’). Nei suoi lavori ci sono elementi di derivazione greca, come il corretto impiego di tecniche dell’algebra geometrica. Un limite della sua opera consiste nell’assenza di una notazione simbolica (comune, nel contesto socio-culturale considerato): egli va inquadrato ancora nell’ambito dell’algebra retorica, in cui le espressioni erano descritte con parole; il passaggio dall’algebra retorica all’algebra sincopata e all’algebra simbolica avverrà in Europa tra il XV ed il XVI secolo
Molti furono gli studiosi arabi che scrissero di aritmetica e algebra; Al Hosein Ibn Sina (Avicenna, 980-1037) inserì nella propria opera enciclopedica La liberazione una sezione aritmetica e una geometrica (riferita agli Elementi euclidei, Loria 1933). Anche Omar Khayyam (1048-1122) scrisse un’Algebra, in cui interessante è l’indicazione della possibilità di risolvere un’equazione di terzo grado mediante l’intersezione di tre coniche (come nella risoluzione del problema di Delo proposta da Menecmo, IV secolo a.C.).
Gli Arabi si occuparono anche di equazioni indeterminate (ricordiamo Al Karchi, morto nel 1029, autore di Al Facri, vicino all’Aritmetica diofantea); studiosi arabi tentarono di provare che
non ha soluzioni intere non nulle, anticipando così le ricerche sull’ “ultimo teorema di Fermat” (Kline, 1991).
Tra gli studiosi arabi che si occuparono di aritmetica ricordiamo Ibn Al Benna (XIII-XIV secolo), autore di un manuale nel quale troviamo molte annotazioni riguardanti i numeri primi e i problemi di scomposizione di numeri composti (Marre, 1864-1865). Ibn Al Benna è ricordato anche per alcune curiosità aritmetiche, come i prodotti:
Nel xv sec. Ali Ibn Muhammed Al Qalasadi scrisse Il sollevamento della veste della scienza del calcolo; in essa troviamo ad esempio le formule:
(presenti già nel X libro degli Elementi euclidei) che consentono in molti casi una trattazione efficace dei radicali doppi. L’autore indica inoltre le formule per calcolare la somma dei primi n naturali, dei loro quadrati e dei cubi; analogamente per le somme dei naturali pari e dispari. La tradizione aritmetico-algebrica araba si mantenne vitale a lungo: procedimenti equivalenti a sviluppi in frazioni continue, già nel Liber Abaci di Fibonacci (1202) furono ripresi da Abu’l Hasan Alkalsadi nel 1463 (Favaro, 1874); un altro riferimento a ciò è in Kholasat al hissab di Al Aamuli Beha Eddin (XVI secolo, Hankel, 1872).
Dal punto di vista numerologico, interessanti sono i quadrati magici, la cui considerazione può riferirsi alle antiche matematiche orientali (in una leggenda cinese precedente al V secolo a.C. compare lo “Scritto del Fiume Lo”, Lo Shu, costituito da una tabella quadrata con nove caselle in cui erano disposti i numeri interi da 1 a 9, in modo che la somma di ogni riga, colonna o diagonale fosse sempre la stessa). Un quadrato magico, in generale, è una tabella quadrata di numeri tale che:
1. tutti i numeri sono interi positivi;
2. i numeri sono tutti diversi tra di loro;
3. la somma dei numeri di ciascuna riga, colonna e
diagonale è la stessa (costante magica).
Il Lo Shu è dunque un quadrato magico di ordine 3 (tre righe e tre colonne). In Europa l’interesse per tali schemi risale alla fine del xv sec. (Dürer inserì un quadrato magico di ordine 4 nell’incisione Melanconia del 1514; alcuni quadrati magici si trovano già in De Viribus Quantitatis, scritto da Pacioli tra il 1496 e il 1508). Ma prima della diffusione nel mondo occidentale, i quadrati magici compaiono nella tradizione dei paesi islamici (la denominazione araba dei quadrati magici si traduce “disposizione armoniosa di numeri”): J. Sesiano (2004) ricorda due testi risalenti al X sec. in cui si trovano metodi particolari e generali; a partire dall’XI secolo i procedimenti si sviluppano nella direzione di una sempre maggiore generalità e della considerazione di condizioni aggiuntive. Oltre ai quadrati ordinari, troviamo infatti quadrati magici a scompartimenti (cioè scomponibili in un certo numero di quadrati magici) e in particolare con un bordo magico (scomponibili, dunque, in una fascia ai lati e nella restante parte interna); si possono inoltre considerare altre figure magiche (quadrati letterali, triangoli magici, cerchi magici ecc.).
Frequenti sono le interpretazioni dei quadrati magici: riferendosi alla tradizione astrologica, Pacioli in De Viribus Quantitatis intitola alcuni paragrafi nel modo seguente: “De li numeri in forma quadrata, disposti secondo l’astronomi figure de li pianeti, cioè che per lati et diametri sempre fanno tanto, cioè l’uno 15 de Saturno [ordine 3]; de Giove 34 per ogni verso [ordine 4]; de Marte 63 per ogni verso [ordine 5]; del Sole 111 per ogni verso [ordine 6]; de Venere per ogni verso 175 [ordine 7]; de Mercurio 260 per tutto [ordine 8]; della Luna 369 per ogni verso [ordine 9]” (si noti la presenza delle costanti magiche per i vari ordini). Si noti che della “figura de Mercurio” (ordine 8) Pacioli fornisce solo le prime righe e la costante magica (260):
Tra i quadrati magici costruiti nel mondo arabo tra il XI e il XII sec. e abbinati ai nomi dei pianeti compare però il seguente (D. Uri, com. priv. all’autore):
Esso coincide quindi largamente con l’incompleta traccia pacioliana, a parte il primo e l’ultimo elemento della prima riga (tali difformità potrebbero però essere causate da errori di scrittura del manoscritto di De Viribus Quantitatis, non infrequenti). Ciò testimonia dunque l’ampio interesse degli studiosi europei del periodo per la matematica del mondo arabo.
Giorgio T. Bagni*
*Ricercatore confermato di matematiche complementari presso l’Università di Udine. Si occupa di didattica, storia ed epistemologia della matematica.
Bibliografia di riferimento
G.T. Bagni, Storia della matematica, Vol. I., Bologna, Pitagora, 1996.
G.T. Bagni, Linguaggio,storia e didattica della matematica, Bologna, Pitagora, 2006.
A. Favaro, Notizie storiche sulle frazioni continue dal secolo decimoterzo al
decimosettimo, «Bull. di bibl. e di storia delle scienze matem. e fisiche», VII, 1874.
H. Hankel, Storia delle matematiche presso gli Arabi, «Bull. di bibl. e di storia delle scienze matem. e fisiche», VII, 1872.
M. Kline, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi 1991.
G. Loria, Storia delle matematiche dall’alba delle civiltà al tramonto del secolo XIX, Torino, Sten,1933.
A. Marre, Le Talkhis d’Ibn Albanna, «Atti dell’Acc. dei Nuovi Lincei», XVII, 1864-1865.
S.H. Nasr, Scienza e civiltà nell’Islam, Milano, Feltrinelli, 1977.
J. Sesiano, Les carrés magiques dans les Pays Islamiques, Lausanne, Presses Polytechniques es Universitaires Romandes, 2004.
D.J. Struik, Matematica, un profilo storico, Bologna, Il Mulino, 1981.
Fonte: Treccani.it
Nota sull'astrolabio arabo in foto: Si era nella seconda metà del XIII secolo, VII dell'egira, e in Andalusia, nella splendida Granada, capitale dell'omonimo regno arabo, un famoso muwwaqit - un "calcolatore dell'ora" presso la grande moschea - svolgeva la sua opera scrivendo trattati astronomici e costruendo strumenti per le osservazioni.
Il Museo della Specola di Bologna possiede un pregevole astrolabio (riprodotto nella nostra copertina), attribuito proprio a questo antico astronomo arabo, Husayn b. Muhammad b. Baso (Ibn Baso padre), che ha vissuto e operato su quello che è attualmente territorio europeo. Tra i sette timpani o piatti contenuti all'interno di questo astrolabio e che recano incise le proiezioni dei sistemi di coordinate celesti utili per la determinazione della posizione del luogo in cui veniva usato lo strumento, uno è riferito alle città sante, la Mecca e Medina, come di consuetudine per gli astrolabi arabi; gli altri sono realizzati per latitudini dell'ambiente islamico limitrofo a quello del costruttore e corrispondenti a località della costa dell'Africa occidentale e del sud della Spagna. L'ultimo timpano, tuttavia, si presenta particolarmente interessante e spiega il motivo per cui si è scelto questo strumento per illustrare la copertina del primo numero della nostra rivista in lingua araba. Tale timpano, infatti, è senz'altro più tardo - probabilmente del XV secolo - ed è stato realizzato per latitudini corrispondenti a Roma e al nord dell'Italia ed è inciso con caratteri latini.
Questo strumento, quindi, costruito per un astronomo arabo del Duecento ed aggiornato e usato da un astronomo italiano un paio di secoli più tardi, rappresenta in modo tangibile e non solo simbolico quello che è stato uno dei fenomeni più importanti nella nascita e nella diffusione della cultura moderna: il grande travaso di conoscenze dal mondo arabo a quello europeo avvenuto dopo l'Anno Mille |
